Distribuciones de Probabilidad

Las distribuciones son el “vocabulario” de la probabilidad — patrones recurrentes que aparecen una y otra vez en la naturaleza y en los modelos.

¿Qué es una Distribución?

Una distribución de probabilidad describe cómo se reparte la probabilidad sobre los posibles valores de una variable aleatoria.

Dos Tipos Fundamentales

Distribuciones Discretas

Bernoulli

El experimento más simple: éxito o fracaso.

$$X \sim \text{Bernoulli}(p)$$

• $P(X=1) = p$ (éxito)
• $P(X=0) = 1-p$ (fracaso)
• $E[X] = p$
• $\text{Var}(X) = p(1-p)$

Ejemplo: Lanzar una moneda, respuesta sí/no, clic o no clic.

Binomial

Número de éxitos en $n$ ensayos Bernoulli independientes.

$$X \sim \text{Binomial}(n, p)$$

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

• $E[X] = np$
• $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Ejemplo: Número de caras en 10 lanzamientos de moneda.

Poisson

Número de eventos en un intervalo fijo, cuando los eventos son raros e independientes.

$$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$$

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

• $E[X] = \lambda$
• $\text{Var}(X) = \lambda$

Ejemplo: Número de llamadas a un call center por hora, número de errores tipográficos por página.

Geométrica

Número de ensayos hasta el primer éxito.

$$X \sim \text{Geom}(p)$$

$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$$

• $E[X] = 1/p$
• $\text{Var}(X) = (1-p)/p^2$

Ejemplo: Cuántas veces lanzas un dado hasta obtener un 6.

Distribuciones Continuas

Uniforme

Todos los valores en un intervalo son igualmente probables.

$$X \sim \text{Uniform}(a, b)$$

$$f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{para } x \in [a,b]$$

• $E[X] = \frac{a+b}{2}$
• $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

Ejemplo: Generador de números aleatorios, tiempo de llegada en un intervalo.

Normal (Gaussiana)

La distribución más importante — aparece en todas partes gracias al Teorema del Límite Central.

$$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

• $E[X] = \mu$
• $\text{Var}(X) = \sigma^2$

Propiedades clave:

• Simétrica alrededor de $\mu$
• ~68% de los datos dentro de $\pm 1\sigma$
• ~95% dentro de $\pm 2\sigma$
• ~99.7% dentro de $\pm 3\sigma$

Normal Estándar: $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$

Exponencial

Tiempo hasta el primer evento (continua análoga a Poisson).

$$X \sim \text{Exp}(\lambda)$$

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para } x \geq 0$$

• $E[X] = 1/\lambda$
• $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$

Propiedad sin memoria: $P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$

Ejemplo: Tiempo entre llegadas de clientes, tiempo de vida de componentes.

Log-Normal

Cuando el logaritmo de una variable es normal.

$$X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2) \iff \log(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

• Siempre positiva
• Asimétrica (cola derecha más larga)
• Común en fenómenos multiplicativos

Ejemplo: Precios de acciones, tamaños de archivos, ingresos.

Distribuciones de Colas Pesadas (Fat Tails)

Estas distribuciones son fundamentales para entender fenómenos extremos.

Pareto (Ley de Potencias)

$$X \sim \text{Pareto}(x_m, \alpha)$$

$$P(X > x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha \quad \text{para } x \geq x_m$$

• Si $\alpha \leq 1$: media infinita
• Si $\alpha \leq 2$: varianza infinita

Ejemplo: Distribución de riqueza, tamaño de ciudades, popularidad de sitios web.

Cauchy

El caso extremo: ni media ni varianza existen.

$$X \sim \text{Cauchy}(x_0, \gamma)$$

$$f(x) = \frac{1}{\pi\gamma\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]}$$

• $E[X]$ no existe
• $\text{Var}(X)$ no existe
• El promedio de $n$ muestras Cauchy es… Cauchy (no converge)

Importante: La distribución Cauchy destruye nuestras intuiciones sobre promedios.

Student-t

Interpolación entre Normal y Cauchy.

$$X \sim t_\nu$$

• $\nu = 1$: es Cauchy
• $\nu \to \infty$: es Normal
• $\nu \leq 2$: varianza infinita

Uso: Estimación robusta, modelos financieros, cuando sospechas de colas pesadas.

Comparación Visual

Nota: Esta imagen se genera automáticamente al ejecutar lab_probabilidad.py

Resumen: ¿Cuándo Usar Cada Una?

Momentos y Colas

Una forma de caracterizar distribuciones es por sus momentos:

Curtosis:

• Normal tiene curtosis = 3
• Curtosis > 3: colas más pesadas que normal (“leptocúrtica”)
• Curtosis < 3: colas más ligeras (“platicúrtica”)

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