Ejercicio: El Fraude del Value at Risk (VaR)

Objetivo

1. Demostrar empíricamente por qué el VaR paramétrico falla
2. Aprender a diagnosticar fat tails en datos financieros
3. Implementar alternativas robustas al VaR normal

El Problema

El VaR (Value at Risk) es LA métrica de riesgo más usada en finanzas. Pero tiene un problema fundamental.

Definición Formal

$$\text{VaR}_\alpha = -Q_{1-\alpha}(\mathcal{R})$$

donde $Q_p$ es el cuantil p de los retornos R.

En palabras:

• VaR₉₉ = “El 99% de los días, no perderemos más que esta cantidad”
• VaR₉₅ = “El 95% de los días, no perderemos más que esta cantidad”

Cómo se Calcula: Método Paramétrico (Normal)

Asumiendo $R \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$:

$$\text{VaR}_\alpha = -(\mu + z_{1-\alpha} \cdot \sigma)$$

donde $z_{1-\alpha}$ es el cuantil de la normal estándar:

• VaR₉₉: $z_{0.01} = -2.326$
• VaR₉₅: $z_{0.05} = -1.645$

El Problema Fundamental

Si los retornos son fat-tailed (α ≈ 3 para acciones):

1. Subestima la frecuencia de violaciones
2. Subestima la severidad de las pérdidas
3. Da falsa sensación de seguridad

¿Por qué Student-t NO es la Solución?

⚠️ ADVERTENCIA CRÍTICA:

Student-t subestima los eventos extremos porque sus colas decaen más rápido que power law.

Metodología del Ejercicio

PASO 1: Diagnóstico de Fat Tails

Antes de calcular VaR, diagnosticar la distribución:

# 1. Estimar α con Hill
alpha = hill_estimator(returns)

# 2. Calcular κ de Taleb
kappa = np.max(np.abs(returns)) / np.sum(np.abs(returns))

# 3. Contar eventos extremos
for k in [3, 4, 5, 6]:
    obs = (np.abs(z_scores) > k).sum()
    esp = len(returns) * 2 * (1 - stats.norm.cdf(k))
    print(f">{k}σ: obs={obs}, esp={esp:.1f}, ratio={obs/esp:.1f}x")

Interpretación:

• α ≈ 3 para S&P 500 → varianza finita pero kurtosis infinita
• VaR normal subestima ~50-100x los eventos >4σ

PASO 2: Calcular VaR con Diferentes Métodos

El script compara 4 métodos:

# Normal (paramétrico)
VaR_normal = -(mu + stats.norm.ppf(0.01) * sigma)

# Histórico (no paramétrico)
VaR_hist = -np.percentile(returns, 1)

# EVT con GPD (Generalized Pareto)
# Modela solo la cola, más robusto

PASO 3: Backtesting

Para cada método, calcular:

• Tasa de violación (esperada vs real)
• Severidad de violaciones (cuánto excede el VaR)

# Una violación = pérdida > VaR predicho
violacion = -retorno_real > VaR_predicho

# Severidad = qué tan mal falla cuando falla
severidad = (-retorno_real - VaR_predicho) / VaR_predicho

Métricas:

• VaR₉₉ debería tener ~1% de violaciones
• Si tiene 2-5%, el modelo subestima riesgo

PASO 4: Análisis de Eventos Extremos

Identificar los peores días y calcular cuántas “sigmas” representan:

z_scores = (returns - mu) / sigma
worst_days = z_scores.nsmallest(20)

Cita clave:

“We were seeing things that were 25-standard deviation moves, several days in a row.” — David Viniar, CFO Goldman Sachs, agosto 2007

Si tu modelo dice 25σ, el problema es tu modelo.

Lo Que Harás

Parte A: Diagnóstico

1. Correr el script y examinar el diagnóstico de colas
2. Llenar la tabla:

Parte B: Comparar Métodos de VaR

Llenar tabla de backtesting:

Parte C: Severidad

¿Qué método tiene menor severidad promedio cuando falla?

¿Qué Hacer? Alternativas Robustas

1. VaR Histórico (Mínimo Viable)

def var_historico(returns, alpha=0.99):
    return -np.percentile(returns, (1-alpha)*100)

Pros: No asume distribución Contras: Limitado por datos históricos

2. VaR con EVT (Más Robusto)

from scipy.stats import genpareto

def var_evt(returns, alpha=0.99, threshold_pct=90):
    losses = -returns
    u = np.percentile(losses, threshold_pct)
    excesses = losses[losses > u] - u
    
    # Ajustar GPD a los excesos
    params = genpareto.fit(excesses)
    c, loc, scale = params
    
    # Calcular VaR
    n, n_u = len(losses), len(excesses)
    Fu = n_u / n
    p = 1 - alpha
    
    var = u + (scale/c) * ((p/Fu)**(-c) - 1)
    return var

3. Expected Shortfall (ES)

def expected_shortfall(returns, alpha=0.99):
    var = var_historico(returns, alpha)
    return -returns[returns < -var].mean()

ES responde: “Cuando perdemos más que VaR, ¿cuánto perdemos en promedio?”

4. Stress Testing

No confiar solo en métricas. Simular escenarios:

• ¿Qué pasa si mañana hay un -20%?
• ¿Sobrevivimos un 2008?
• ¿Qué si hay 3 días seguidos de -5%?

Código de Adaptación Completo

import numpy as np
from scipy import stats

def analisis_riesgo_robusto(returns):
    """
    Framework robusto para análisis de riesgo con fat tails.
    """
    
    # === PASO 1: DIAGNÓSTICO ===
    alpha = hill_estimator(returns)
    print(f"Índice de cola α̂ = {alpha:.2f}")
    
    if alpha <= 2:
        print("⚠️ VARIANZA INFINITA - métodos clásicos inválidos")
    elif alpha <= 4:
        print("⚡ Fat-tailed - usar métodos robustos")
    else:
        print("✓ Casi normal - métodos clásicos aceptables")
    
    # === PASO 2: MEDIDAS DE RIESGO ===
    
    # NO usar:
    # var_normal = -(returns.mean() + stats.norm.ppf(0.01) * returns.std())
    
    # SÍ usar:
    var_hist_99 = -np.percentile(returns, 1)
    var_hist_95 = -np.percentile(returns, 5)
    
    es_99 = -returns[returns < -var_hist_99].mean()
    es_95 = -returns[returns < -var_hist_95].mean()
    
    print(f"\nMedidas de riesgo (robustas):")
    print(f"  VaR 99% (histórico): {var_hist_99*100:.2f}%")
    print(f"  VaR 95% (histórico): {var_hist_95*100:.2f}%")
    print(f"  ES 99%: {es_99*100:.2f}%")
    print(f"  ES 95%: {es_95*100:.2f}%")
    
    # === PASO 3: STRESS TEST ===
    worst_day = returns.min()
    worst_week = returns.rolling(5).sum().min()
    worst_month = returns.rolling(22).sum().min()
    
    print(f"\nEscenarios históricos extremos:")
    print(f"  Peor día: {worst_day*100:.2f}%")
    print(f"  Peor semana: {worst_week*100:.2f}%")
    print(f"  Peor mes: {worst_month*100:.2f}%")
    
    return {
        'alpha': alpha,
        'var_99': var_hist_99,
        'var_95': var_hist_95,
        'es_99': es_99,
        'es_95': es_95
    }

Preguntas de Reflexión

1. ¿Por qué el VaR normal subestima el riesgo? Relaciona con α ≈ 3.

2. ¿Por qué el VaR histórico funciona mejor? ¿Tiene limitaciones?

3. David Viniar dijo “25 sigmas”. ¿Qué debería haber concluido?

4. ¿Por qué Expected Shortfall es mejor que VaR para fat tails?

5. Si α = 2.5 para tus datos, ¿puedes usar la varianza para medir riesgo?

6. ¿Cómo harías stress testing si no hay datos históricos de crisis?

Ejecutar

cd clase/05_probabilidad/ejercicios
source .venv/bin/activate
python ejercicio_var.py

El script generará:

• Diagnóstico de colas con α̂
• Tabla de backtesting por método
• var_backtesting.png: Comparación visual de métodos
• var_eventos_extremos.png: Los peores días y sus “sigmas”

Conexión con la Crisis de 2008

El VaR paramétrico fue uno de los culpables:

• Los bancos pensaban que tenían el riesgo “controlado”
• Los modelos decían que ciertos eventos eran “imposibles”
• Cuando ocurrieron los “imposibles”, el sistema colapsó

Lección: No confíes en modelos que subestiman las colas.

Referencia

• Taleb, N.N. (2020). Statistical Consequences of Fat Tails
• Taleb, N.N. (2007). The Black Swan
• Embrechts, P. et al. (1997). Modelling Extremal Events