Anatomía de un Problema de Decisión
“El que predice sin decidir es un espectador. El que decide sin predecir es un temerario.”
De predecir a decidir
El módulo anterior terminó con una observación: la predicción es una herramienta, no un fin. Un modelo que estima $P(Y \mid X)$ responde la pregunta “¿qué va a pasar?”, pero no responde “¿qué debo hacer?”.
Considera un médico con un modelo predictivo perfecto:
- El modelo dice: “Este paciente tiene 30% de probabilidad de tener la enfermedad.”
- El médico pregunta: “¿Lo trato o no?”
La predicción sola no contesta. Necesitamos saber:
- ¿Qué pasa si trato y está sano? (Costos del tratamiento innecesario)
- ¿Qué pasa si no trato y está enfermo? (Consecuencias de no tratar)
- ¿Cuánto “vale” cada resultado para el paciente?
Eso es teoría de la decisión: un marco para combinar lo que creemos (probabilidades) con lo que queremos (utilidades) para determinar lo que debemos hacer (acciones).
Los ingredientes
Todo problema de decisión tiene 5 componentes:
| Ingrediente | Símbolo | Significado | Ejemplo (paraguas) |
|---|---|---|---|
| Estados | $S$ | Lo que el mundo puede ser (no controlamos) | |
| Acciones | $A$ | Lo que podemos hacer | |
| Resultados | $O$ | Lo que sucede dado $(a, s)$ | “Seco con paraguas bajo lluvia” |
| Creencias | $P(S)$ | Probabilidad sobre estados | $P(\text{Lluvia}) = 0.4$ |
| Preferencias | $U: O \to \mathbb{R}$ | Cuánto valoramos cada resultado | $U(\text{seco}) = 8$ |
Nota la analogía con optimización (módulo 07):
| Optimización (módulo 07) | Decisión (módulo 09) |
|---|---|
| Variables de decisión $x$ | Acciones $A$ |
| Función objetivo $f(x)$ | Utilidad esperada $E[U(a)]$ |
| Restricciones $g(x) \leq 0$ | Acciones factibles |
| — | Estados $S$ (novedad) |
| — | Creencias $P(S)$ (novedad) |
La diferencia clave: en optimización, el resultado de elegir $x$ es determinista ($f(x)$). En decisión, el resultado depende del estado del mundo, que es incierto.
Matriz de decisión
La forma más simple de representar un problema de decisión es una matriz de pagos (payoff matrix):
Las filas son acciones, las columnas son estados, y cada celda contiene la utilidad $U(a, s)$.
| Lluvia | Sol | |
|---|---|---|
| Llevar paraguas | 8 (seco, manos ocupadas) | 5 (seco, cargando innecesario) |
| No llevar | 1 (empapado) | 10 (libre, día perfecto) |
- Si sabemos que llueve → llevar (8 > 1).
- Si sabemos que habrá sol → no llevar (10 > 5).
- Si no sabemos… necesitamos las probabilidades.
| Enfermo ($p = 0.1$) | Sano ($p = 0.9$) | |
|---|---|---|
| Tratar | 150 (beneficio - costo) | -50 (solo costo) |
| No tratar | -200 (enfermedad avanza) | 0 (nada pasa) |
¿Tratar o no? Depende de cuánto pesamos cada escenario.
Tres regímenes de decisión
No todos los problemas de decisión son iguales. Dependiendo de cuánto sabemos sobre los estados, estamos en uno de tres regímenes:
1. Certeza: sabemos qué estado ocurrirá
Si sabemos que llueve, el problema colapsa a:
$$a^{∗} = \arg\max_{a \in A} U(a, s_{\text{conocido}})$$
Esto es optimización determinista — exactamente lo que vimos en el módulo 07. No necesitamos probabilidades.
2. Riesgo: conocemos $P(S)$
Si $P(\text{Lluvia}) = 0.4$, podemos calcular la utilidad esperada de cada acción:
$$E[U(a)] = \sum_{s \in S} P(s) \cdot U(a, s)$$
Y elegir la acción que maximiza:
$$a^{∗} = \arg\max_{a \in A} E[U(a)]$$
Este es el principio de máxima utilidad esperada (MEU) — el corazón de este módulo.
3. Ignorancia: no conocemos $P(S)$
Si no tenemos probabilidades (o no confiamos en ellas), usamos criterios alternativos:
| Criterio | Fórmula | Filosofía |
|---|---|---|
| Maximin (Wald) | $a^{∗} = \arg\max_a \min_s U(a, s)$ | Pesimista: maximizar el peor caso |
| Minimax regret (Savage) | $a^{∗} = \arg\min_a \max_s R(a, s)$ | Minimizar el arrepentimiento máximo |
| Maximax | $a^{∗} = \arg\max_a \max_s U(a, s)$ | Optimista: maximizar el mejor caso |
Donde el regret (arrepentimiento) es:
$$R(a, s) = \max_{a’} U(a’, s) - U(a, s)$$
Es decir: la diferencia entre lo que obtuve y lo que hubiera obtenido con la mejor acción ex post.
¿Cuándo coinciden y cuándo no?
Los tres criterios pueden dar la misma acción o acciones distintas. Depende de la estructura de la matriz de pagos:
- Si una acción domina a todas las demás (es mejor o igual en cada estado), los tres criterios coinciden — no hay conflicto.
- Si los pagos son simétricos (la misma “distancia” entre acciones en cada estado), maximin y minimax regret tienden a coincidir porque el peor caso absoluto y el peor arrepentimiento apuntan al mismo lugar.
- Divergen cuando hay asimetría riesgo/recompensa. Si una acción tiene un pago muy alto en un estado y muy bajo en otro (como “invertir agresivamente”), maximin la penaliza por su peor caso, pero minimax regret puede favorecerla si no elegirla genera un arrepentimiento enorme en el estado bueno.
Intuición rápida:
- Maximin solo mira el piso: “¿cuál es mi peor escenario?”. Es ciego a qué tan bueno puede ser el mejor caso.
- Minimax regret mira la diferencia con lo óptimo ex post: “¿cuánto me voy a arrepentir?”. Sí toma en cuenta las oportunidades perdidas.
- Maximax solo mira el techo: “¿cuál es mi mejor escenario?”. Es ciego al riesgo.
Por eso maximin tiende a elegir acciones conservadoras (pagos estables) y minimax regret puede elegir acciones más arriesgadas cuando el costo de oportunidad de no actuar es grande. Maximax siempre elige la opción más agresiva.
En la sección 9.3 veremos un ejemplo numérico donde MEU y maximin eligen acciones opuestas.
Receta para formular un problema de decisión
Análoga a la receta de formulación del módulo 07:
- ¿Qué no controlo? → Identifica los estados $S$
- ¿Qué controlo? → Identifica las acciones $A$
- ¿Qué resulta? → Define los resultados $O = O(a, s)$
- ¿Qué creo? → Asigna probabilidades $P(S)$ (si las tienes)
- ¿Qué prefiero? → Define utilidades $U: O \to \mathbb{R}$
Un inversionista puede poner su dinero en acciones o bonos. El mercado puede estar en boom, estable, o en crisis. Formula:
- ¿Cuáles son los estados $S$?
- ¿Cuáles son las acciones $A$?
- ¿Cómo asignarías probabilidades?
- ¿Cómo definirías las utilidades?
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