Utilidad y Preferencias Racionales

“The question is not whether to gamble, but how to gamble wisely.” — John von Neumann

De preferencias a axiomas

En el módulo 05 vimos cómo Jaynes derivó la probabilidad a partir de desiderata para creencias racionales — si quieres que tus creencias sean consistentes, deben satisfacer los axiomas de la probabilidad.

Aquí hacemos lo mismo, pero para preferencias. Si quieres que tus decisiones sean consistentes, tus preferencias deben satisfacer ciertos axiomas — y de esos axiomas emerge una función de utilidad.

Notación de preferencias

Dado dos resultados (o “loterías”) $A$ y $B$:

Loterías

Una lotería es un resultado aleatorio. Se escribe:

$$L = [S_1 : p ;,; S_2 : 1-p]$$

que significa: “obtienes $S_1$ con probabilidad $p$, o $S_2$ con probabilidad $1 - p$”.

Los axiomas de von Neumann-Morgenstern

Cuatro axiomas que capturan “preferencias racionales”:

Axioma 1: Completitud

Para cualquier par $A$, $B$: o bien $A \succeq B$, o bien $B \succeq A$ (o ambas).

Intuición: Siempre puedes comparar dos opciones. No existe “no sé qué prefiero” como estado permanente.

Contraejemplo: “¿Prefieres un helado de chocolate o una sinfonía de Beethoven?” — A veces es genuinamente difícil comparar. Pero el axioma dice que, obligado a elegir, puedes.

Axioma 2: Transitividad

Si $A \succeq B$ y $B \succeq C$, entonces $A \succeq C$.

Intuición: Tus preferencias no forman ciclos. Si prefieres pizza a sushi y sushi a hamburguesa, entonces prefieres pizza a hamburguesa.

Contraejemplo (money pump): Si $A \succ B \succ C \succ A$ (preferencias cíclicas), un agente inteligente puede sacarte dinero infinito:

1. Tienes C. “¿Pagas 1 peso para cambiar a B?” — Sí ($B \succ C$).
2. Tienes B. “¿Pagas 1 peso para cambiar a A?” — Sí ($A \succ B$).
3. Tienes A. “¿Pagas 1 peso para cambiar a C?” — Sí ($C \succ A$).
4. Volviste a C… y perdiste 3 pesos.

Axioma 3: Continuidad

Si $A \succ B \succ C$, existe un $p \in (0, 1)$ tal que: $$B \sim [A : p ;,; C : 1-p]$$

Intuición: No hay resultados “infinitamente buenos” ni “infinitamente malos”. Siempre existe una mezcla de probabilidades que te hace indiferente.

Contraejemplo: Si dices “Nunca apostaría nada que involucre muerte, sin importar la probabilidad”, estás violando continuidad. (Esto puede ser razonable — los axiomas describen racionalidad formal, no necesariamente humana.)

Axioma 4: Independencia

Si $A \succeq B$, entonces para todo $C$ y todo $p \in (0, 1)$: $$[A : p ;,; C : 1-p] \succeq [B : p ;,; C : 1-p]$$

Intuición: Mezclar ambas opciones con un mismo “ruido” $C$ no cambia la preferencia. Si prefieres pizza a sushi, mezclar cada uno con una moneda al aire que da “ensalada” no debería cambiar tu ranking.

Este es el axioma más controversial — veremos que los humanos lo violan sistemáticamente.

Funciones de utilidad

Teorema (von Neumann-Morgenstern): Si las preferencias de un agente satisfacen los 4 axiomas, entonces existe una función $U: O \to \mathbb{R}$ tal que:

$$A \succeq B \iff E[U(A)] \geq E[U(B)]$$

Además, $U$ es única salvo transformación afín: si $U$ representa las preferencias, entonces $V = \alpha U + \beta$ (con $\alpha > 0$) también las representa.

Qué significa: No necesitas comparar directamente loterías complejas. Basta asignar un número a cada resultado y comparar los promedios ponderados. La utilidad es a las preferencias lo que la probabilidad es a las creencias — una cuantificación consistente.

La utilidad del dinero

¿Por qué no usar simplemente dinero como utilidad? Porque la relación entre dinero y “felicidad” no es lineal.

Tres perfiles de riesgo

La paradoja de San Petersburgo

Un juego ofrece: lanzas una moneda repetidamente. Si sale cara en el lanzamiento $n$, ganas $2^n$ pesos.

$$E[\text{ganancia}] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty$$

El valor esperado es infinito, pero nadie pagaría una cantidad infinita por jugar. ¿Por qué? Porque la utilidad esperada es finita:

$$E[U(\text{ganancia})] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot U(2^n) < \infty$$

siempre que $U$ sea cóncava (crece más lento que linealmente). Daniel Bernoulli propuso $U(x) = \ln(x)$ en 1738 — la primera función de utilidad de la historia.

La desigualdad de Jensen

Para una función cóncava $U$ y una variable aleatoria $X$:

$$U(E[X]) \geq E[U(X)]$$

Esto formaliza la aversión al riesgo: el valor seguro $E[X]$ da más utilidad que la lotería con el mismo valor esperado.

La diferencia $U(E[X]) - E[U(X)]$ es la prima de riesgo: cuánto estarías dispuesto a pagar para eliminar la incertidumbre.

Equivalente cierto

El equivalente cierto (CE) de una lotería $L$ es la cantidad segura que te da la misma utilidad:

$$U(\text{CE}) = E[U(L)]$$

• Averso al riesgo: $\text{CE} < E[L]$ (pagarías por eliminar riesgo)
• Neutral: $\text{CE} = E[L]$
• Buscador: $\text{CE} > E[L]$ (pagarías por mantener riesgo)

Cuando fallan los axiomas

Los humanos violan sistemáticamente los axiomas vNM. Esto importa para IA porque:

1. Los modelos de comportamiento humano deben considerar estas desviaciones.
2. Los agentes de IA pueden ser diseñados para no violarlos — ser “más racionales” que los humanos.

La paradoja de Allais (viola Independencia)

Elige entre:

• A: 1M seguro
• B: $[5\text{M} : 0.10 ;,; 1\text{M} : 0.89 ;,; 0 : 0.01]$

La mayoría elige A (certeza).

Ahora elige entre:

• C: $[1\text{M} : 0.11 ;,; 0 : 0.89]$
• D: $[5\text{M} : 0.10 ;,; 0 : 0.90]$

La mayoría elige D (mayor pago esperado).

Pero elegir A y D es inconsistente con el axioma de independencia — si restamos la parte común $[1\text{M} : 0.89]$ de A y B, obtenemos C y D.

Efectos de framing

Cómo describes el mismo resultado cambia la decisión:

• “Este tratamiento tiene 90% de supervivencia” → la gente lo acepta.
• “Este tratamiento tiene 10% de mortalidad” → la gente lo rechaza.

Matemáticamente idénticos, psicológicamente diferentes. Un agente de IA racional no debería tener este problema.

¿Por qué importa para IA?

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