De Probabilidades a Grafos

“The purpose of computing is insight, not numbers.” — Richard Hamming

Recordatorio: las reglas de probabilidad

Antes de conectar probabilidades con grafos, necesitamos tener frescas las reglas fundamentales. Todo lo que haremos en redes Bayesianas se construye sobre estas cuatro reglas.

1. Regla del producto (product rule)

La probabilidad de que dos eventos ocurran juntos se descompone así:

$$P(A, B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$$

En palabras: la probabilidad de $A$ y $B$ es la probabilidad de $B$ multiplicada por la probabilidad de $A$ dado que $B$ ya ocurrió.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y el piso esté mojado?

$$P(\text{Lluvia}, \text{Mojado}) = P(\text{Mojado} \mid \text{Lluvia}) \cdot P(\text{Lluvia})$$

2. Regla de la suma (sum rule / marginalización)

Si queremos la probabilidad de $A$ sola (sin importar $B$), sumamos sobre todos los valores posibles de $B$:

$$P(A) = \sum_{b} P(A, B = b)$$

En palabras: para obtener la probabilidad de $A$, sumamos la conjunta $P(A, B)$ sobre todos los valores posibles de $B$. A esto se le llama marginalizar $B$.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que el piso esté mojado (sin importar si llovió o no)?

$$P(\text{Mojado}) = P(\text{Mojado}, \text{Lluvia}) + P(\text{Mojado}, \text{NoLluvia})$$

3. Probabilidad condicional

Es la probabilidad de $A$ sabiendo que $B$ ocurrió:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A, B)}{P(B)}$$

En palabras: la condicional es la conjunta dividida entre la marginal.

4. Teorema de Bayes

Invierte la dirección de la condicional:

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}$$

En palabras: si sabemos $P(A \mid B)$ (la probabilidad de $A$ dado $B$), podemos calcular $P(B \mid A)$ (la probabilidad de $B$ dado $A$) usando la prior $P(B)$ y la evidencia $P(A)$.

El problema: la distribución conjunta es enorme

Imagina que tienes $n$ variables binarias (cada una vale 0 o 1). Un “mundo posible” es una asignación completa de valores, por ejemplo:

$$X_1=0,; X_2=1,; \ldots,; X_n=0$$

Como cada variable tiene 2 valores, el número de asignaciones posibles (combinaciones) es $2^{n}$. La distribución conjunta

$$P(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$

debe asignar una probabilidad a cada asignación, es decir, a cada término $P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)$.

Así, con 30 variables binarias, la tabla de la conjunta tendría más de mil millones de probabilidades. Esto es inviable.

La pregunta clave: ¿Podemos representar la conjunta de forma más compacta?

La idea central: factorización

La regla del producto nos permite descomponer una conjunta en piezas más pequeñas. Aplicándola repetidamente (regla de la cadena):

$$P(X_1, X_2, X_3) = P(X_3 \mid X_1, X_2) \cdot P(X_2 \mid X_1) \cdot P(X_1)$$

Esto siempre es cierto, para cualquier distribución. Pero hasta aquí no hemos ganado nada — el número total de parámetros es el mismo.

El truco viene cuando algunas variables no dependen directamente de todas las demás. Por ejemplo, si $X_3$ solo depende de $X_2$ (no de $X_1$):

$$P(X_3 \mid X_1, X_2) = P(X_3 \mid X_2)$$

Entonces la factorización se simplifica:

$$P(X_1, X_2, X_3) = P(X_3 \mid X_2) \cdot P(X_2 \mid X_1) \cdot P(X_1)$$

Cada factor ahora tiene menos variables de las que condiciona. Esto reduce drásticamente el número de parámetros que necesitamos almacenar.

De factorización a grafo

Aquí viene la conexión visual. Cada factor $P(X_i \mid \text{padres de } X_i)$ se representa como:

• Un nodo para $X_i$
• Una flecha desde cada padre hacia $X_i$

La regla es simple:

Flecha de $A$ a $B$ significa que $B$ depende directamente de $A$, es decir, $A$ aparece en la condicional $P(B \mid \ldots, A, \ldots)$.

Ejemplo: la cadena Lluvia → Mojado → Resbalón

Supongamos tres variables:

• L = Lluvia (llueve o no llueve)
• M = Piso Mojado (el piso está mojado o no)
• R = Resbalón (me resbalo o no)

La factorización natural es:

$$P(L, M, R) = P(R \mid M) \cdot P(M \mid L) \cdot P(L)$$

¿Por qué esta factorización? Porque:

• La lluvia ocurre o no independientemente (es la “causa raíz”)
• El piso se moja dependiendo de si llueve
• Me resbalo dependiendo de si el piso está mojado (no directamente de si llueve)

El grafo correspondiente:

graph LR
    L(("L<br/>Lluvia")) --> M(("M<br/>Mojado"))
    M --> R(("R<br/>Resbalón"))

Lectura del grafo:

• $L$ no tiene padres → su factor es $P(L)$ (la prior)
• $M$ tiene un padre ($L$) → su factor es $P(M \mid L)$
• $R$ tiene un padre ($M$) → su factor es $P(R \mid M)$

La conjunta completa es el producto de todos los factores:

$$P(L, M, R) = P(L) \cdot P(M \mid L) \cdot P(R \mid M)$$

La regla general

Para una red Bayesiana con variables $X_1, \ldots, X_n$:

$$\boxed{P(X_1, X_2, \ldots, X_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \mid \text{Padres}(X_i))}$$

Donde $\text{Padres}(X_i)$ son los nodos que tienen flechas hacia $X_i$ en el grafo.

Si un nodo no tiene padres, su factor es simplemente $P(X_i)$ (una probabilidad marginal).

Del grafo a probabilidades: paso a paso

Dado un grafo dirigido acíclico (DAG), podemos escribir la distribución conjunta siguiendo este procedimiento:

Paso 1: Para cada nodo, identifica sus padres (los nodos con flechas que llegan a él).

Paso 2: Escribe el factor $P(\text{nodo} \mid \text{padres})$.

Paso 3: La conjunta es el producto de todos los factores.

graph TD
    B(("B<br/>Robo")) --> A(("A<br/>Alarma"))
    E(("E<br/>Terremoto")) --> A
    A --> J(("J<br/>Juan llama"))
    A --> M(("M<br/>María llama"))

De probabilidades a grafo: paso a paso

También podemos ir en la dirección inversa. Dada una factorización, construir el grafo.

Paso 1: Cada variable es un nodo.

Paso 2: Para cada factor $P(X_i \mid Y_1, \ldots, Y_k)$, dibuja una flecha desde cada $Y_j$ hacia $X_i$.

Paso 3: Verifica que el grafo resultante sea un DAG (grafo dirigido acíclico — sin ciclos).

graph TD
    A(("A")) --> B(("B"))
    A --> C(("C"))
    B --> D(("D"))
    C --> D

Requisitos de una red Bayesiana

Una red Bayesiana es un par $(G, \Theta)$ donde:

1. $G$ es un grafo dirigido acíclico (DAG). No puede tener ciclos, porque un ciclo significaría que una variable se causa a sí misma (circular).

2. $\Theta$ son las tablas de probabilidad condicional (CPTs): para cada nodo, una tabla que especifica $P(\text{nodo} \mid \text{padres})$.

Juntos, $G$ y $\Theta$ definen una distribución conjunta completa sobre todas las variables.

Importante — la dirección de las flechas:

Las flechas representan dependencia directa, que frecuentemente (pero no siempre) coincide con causalidad. En los ejemplos anteriores:

• Lluvia causa que el piso se moje → $L \to M$ (causal)
• Un robo causa que suene la alarma → $B \to A$ (causal)

Sin embargo, una red Bayesiana es válida con cualquier orden topológico. Lo que importa es que la factorización sea correcta, no que las flechas representen causalidad. Dicho esto, modelar las flechas como relaciones causales produce redes más compactas y naturales.

Ejemplo: Red de diagnóstico médico

Un paciente llega con tos. Queremos modelar las relaciones entre enfermedades y síntomas.

Variables:

• F = Fuma (sí/no)
• G = Gripe (sí/no)
• N = Neumonía (sí/no)
• T = Tos (sí/no)
• Fi = Fiebre (sí/no)

graph TD
    F(("F<br/>Fuma")) --> N(("N<br/>Neumonía"))
    G(("G<br/>Gripe")) --> T(("T<br/>Tos"))
    G --> Fi(("Fi<br/>Fiebre"))
    N --> T
    N --> Fi

Lectura de la red:

• Fumar incrementa la probabilidad de neumonía: $F \to N$
• Tanto la gripe como la neumonía causan tos: $G \to T$ y $N \to T$
• Tanto la gripe como la neumonía causan fiebre: $G \to Fi$ y $N \to Fi$
• Fumar y gripe son independientes (no hay flecha entre ellos)

Factorización:

$$P(F, G, N, T, Fi) = P(F) \cdot P(G) \cdot P(N \mid F) \cdot P(T \mid G, N) \cdot P(Fi \mid G, N)$$

Nota cómo cada factor refleja exactamente las flechas del grafo.

Ejemplo: Red de Campaña de Napoleón (simplificada)

Modelemos una versión simplificada de un sistema para predecir el resultado de una batalla (inspirado en los modelos estratégicos de software tipo Napoleon):

Variables:

• T = Terreno favorable (sí/no)
• C = Clima favorable (sí/no)
• M = Moral alta de las tropas (sí/no)
• S = Suministros suficientes (sí/no)
• V = Victoria (sí/no)

graph TD
    T(("T<br/>Terreno")) --> V(("V<br/>Victoria"))
    C(("C<br/>Clima")) --> M(("M<br/>Moral"))
    C --> V
    S(("S<br/>Suministros")) --> M
    M --> V

Lectura:

• El terreno influye directamente en la victoria
• El clima afecta tanto la moral como la victoria directamente
• Los suministros afectan la moral
• La moral de las tropas influye en la victoria

Factorización:

$$P(T, C, S, M, V) = P(T) \cdot P© \cdot P(S) \cdot P(M \mid C, S) \cdot P(V \mid T, C, M)$$

Tres variables raíz ($T$, $C$, $S$) sin padres, una variable intermedia ($M$) y una variable objetivo ($V$).

Resumen: el diccionario probabilidad ↔ grafo

graph TD
    X(("X")) --> Z(("Z"))
    Y(("Y")) --> Z
    Z --> W(("W"))

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