Queries y Tablas de Probabilidad Condicional

“The question is not what you look at, but what you see.” — Henry David Thoreau

Tablas de Probabilidad Condicional (CPTs)

En la sección anterior vimos que una red Bayesiana necesita dos cosas: un grafo (estructura) y las tablas de probabilidad condicional (parámetros). Ahora vamos a profundizar en las tablas.

¿Qué es una CPT?

Una CPT (Conditional Probability Table) especifica $P(X_i \mid \text{Padres}(X_i))$ para todas las combinaciones posibles de valores.

Volvamos al ejemplo de Lluvia → Mojado → Resbalón.

CPT de Lluvia ($L$): No tiene padres, así que es simplemente una distribución marginal.

CPT de Mojado ($M$): Su padre es $L$, así que especificamos $P(M \mid L)$ para cada valor de $L$.

Lectura: Si llueve, hay 90% de probabilidad de que el piso esté mojado. Si no llueve, solo 20% (quizá por la regadera del vecino).

CPT de Resbalón ($R$): Su padre es $M$.

Lectura: Si el piso está mojado, hay 70% de probabilidad de resbalarse. Si está seco, solo 10%.

Propiedades de las CPTs

Cada CPT cumple dos propiedades:

1. Cada entrada está entre 0 y 1: $0 \leq P(X_i \mid \text{Padres}) \leq 1$

2. Las columnas suman 1: Para cada combinación de padres fija, las probabilidades del nodo suman 1.

Por ejemplo, en la CPT de $M$: cuando $L = \text{sí}$, $P(M=\text{sí} \mid L=\text{sí}) + P(M=\text{no} \mid L=\text{sí}) = 0.9 + 0.1 = 1$.

¿Cuántos números necesita una CPT?

Si $X_i$ tiene $k$ valores posibles y sus padres tienen en total $j$ combinaciones posibles, la CPT de $X_i$ necesita:

$$j \times (k - 1) \text{ parámetros libres}$$

El “$k-1$” es porque la última probabilidad se puede calcular restando de 1 (ya que la columna suma 1). En la práctica, almacenamos los $j \times k$ números por claridad.

Especificación completa de una red Bayesiana

Para definir completamente una red Bayesiana necesitas:

1. Lista de variables y sus valores posibles.

2. Estructura del grafo (quién es padre de quién).

3. Una CPT por cada variable.

graph TD
    B(("B<br/>Robo")) --> A(("A<br/>Alarma"))
    E(("E<br/>Terremoto")) --> A
    A --> J(("J<br/>Juan llama"))
    A --> M(("M<br/>María llama"))

Tipos de variables en una consulta

Cuando queremos hacer una pregunta (query) a la red, todas las variables del modelo se reparten en tres tipos.

Por ejemplo, en la red de Sherlock Holmes de arriba, el conjunto total de variables es:

$${B, E, A, J, M} = {\text{Robo, Terremoto, Alarma, Juan llama, María llama}}$$

Dado un query concreto, estas variables se dividen en:

• lo que preguntamos ((Q))
• lo que observamos ((\mathcal{E}), la evidencia con valores fijados)
• lo que queda sin mencionar ((H), las ocultas)

Nota de notación (importante): en este tema usamos (E) para dos cosas distintas según el contexto:

• En la red de Holmes, (E) también es el nodo Terremoto.
• En la notación (P(Q \mid E=e)), (E) es el conjunto de variables de evidencia (y (e) son sus valores observados). Lo distinguimos por contexto: “(E=e)” siempre significa evidencia; “(E) (Terremoto)” aparece como una variable más junto a (B,A,J,M).

1. Variables de consulta (query variables) — $Q$

Son las variables cuya probabilidad queremos calcular. Es lo que preguntamos.

Regla práctica: en una expresión (P(,\cdot \mid \cdot,)), las variables que aparecen a la izquierda del “(\mid)” son (Q).

Ejemplo: “¿Cuál es la probabilidad de que haya un robo?” → $Q = {B}$

2. Variables de evidencia (evidence variables) — $E$

Son las variables cuyo valor observamos. Es lo que sabemos.

Para evitar confusión con el nodo (E) (Terremoto) en la red de Holmes, en los ejemplos a veces escribiré (\mathcal{E}) para el conjunto de evidencia.

Regla práctica: en (P(,\cdot \mid \cdot,)), la parte a la derecha del “(\mid)” son evidencias, y por eso aparecen con un valor fijado (por ejemplo (J=\text{sí})).

Ejemplo: “Sabemos que Juan llamó y María no llamó” → (\mathcal{E} = {J = \text{sí}, M = \text{no}})

3. Variables ocultas (hidden variables) — $H$

Son las variables que ni preguntamos ni observamos. Están en la red pero no aparecen en la consulta. Necesitamos marginalizar sobre ellas (sumar sobre todos sus valores posibles).

Regla práctica: (H) son “las que faltan”: todas las variables del modelo menos las que ya clasificaste como (Q) o como evidencia.

Ejemplo (Holmes, paso a paso): si preguntamos $P(B \mid J=\text{sí}, M=\text{no})$ entonces:

• Conjunto total: ({B,E,A,J,M})
• Consulta: (Q={B}) (a la izquierda del (\mid))
• Evidencia: (\mathcal{E}={J=\text{sí}, M=\text{no}}) (a la derecha del (\mid))
• Ocultas: (H={E, A}) (lo que queda: Terremoto y Alarma)

Visualización

¿Qué es un query?

Un query (consulta probabilística) es una pregunta de la forma:

$$P(Q \mid E = e)$$

Donde:

• $Q$ son las variables de consulta (por ejemplo ({B}) o ({E}))
• $E = e$ es la evidencia observada: el conjunto de variables de evidencia (E) con valores concretos (e) (por ejemplo (J=\text{sí}, M=\text{no}))

Para calcular esta probabilidad, usamos la definición de probabilidad condicional (la misma idea de (P(X\mid Y)=\frac{P(X,Y)}{P(Y)})):

$$P(Q \mid E = e) = \frac{P(Q, E = e)}{P(E = e)}$$

Y tanto el numerador como el denominador requieren marginalizar sobre las variables ocultas $H$:

$$P(Q, E = e) = \sum_{h} P(Q, E = e, H = h)$$

$$P(E = e) = \sum_{q} \sum_{h} P(Q = q, E = e, H = h)$$

Lectura de las sumas:

• (\sum_h) significa “sumar sobre todas las asignaciones posibles de las ocultas (H)”.
  Si (H) tiene (|H|) variables binarias, entonces hay (2^{|H|}) combinaciones de (h).
• (\sum_q) aparece en el denominador porque (P(E=e)) no debe depender de (Q): sumamos también sobre los posibles valores de (Q) para “eliminar” a (Q) y quedarnos solo con la evidencia.

Ejemplo concreto (Holmes): para (P(B \mid J=\text{sí}, M=\text{no})), las ocultas son (H={E,A}), así que

$$P(B, J=\text{sí}, M=\text{no}) = \sum_{e}\sum_{a} P(B, E=e, A=a, J=\text{sí}, M=\text{no}).$$

La buena noticia es que $P(E = e)$ es simplemente una constante de normalización: hace que las probabilidades sumen 1. A menudo escribimos:

$$P(Q \mid E = e) = \alpha \cdot P(Q, E = e)$$

donde $\alpha = \frac{1}{P(E = e)}$ es la constante de normalización.

Variables latentes

Las variables latentes son un caso especial de variables ocultas. Son variables que:

1. Nunca se observan directamente (no porque no las hayamos observado en este query, sino porque son intrínsecamente no observables)
2. Representan conceptos abstractos o estados internos

En la práctica computacional, el tratamiento es el mismo: marginalizamos sobre ambas. La distinción es más conceptual que algorítmica.

Red médica completa con CPTs

Retomemos la red de diagnóstico médico con todas sus tablas.

graph TD
    F(("F<br/>Fuma")) --> N(("N<br/>Neumonía"))
    G(("G<br/>Gripe")) --> T(("T<br/>Tos"))
    G --> Fi(("Fi<br/>Fiebre"))
    N --> T
    N --> Fi

CPTs completas:

$P(F)$:

$P(G)$:

$P(N \mid F)$:

$P(T \mid G, N)$:

$P(Fi \mid G, N)$:

Con esta red completa, podemos responder preguntas como:

• “¿Cuál es la probabilidad de neumonía dado que el paciente tose y tiene fiebre?” → $P(N = \text{sí} \mid T = \text{sí}, Fi = \text{sí})$
• “¿Cuál es la probabilidad de gripe dado que el paciente fuma y tose?” → $P(G = \text{sí} \mid F = \text{sí}, T = \text{sí})$

En la siguiente sección aprenderemos cómo calcular estas probabilidades.

Red de Campaña de Napoleón con CPTs

Completemos la red de Napoleón con sus tablas numéricas.

graph TD
    T(("T<br/>Terreno")) --> V(("V<br/>Victoria"))
    C(("C<br/>Clima")) --> M(("M<br/>Moral"))
    C --> V
    S(("S<br/>Suministros")) --> M
    M --> V

CPTs:

$P(T)$: (Terreno favorable)

$P©$: (Clima favorable)

$P(S)$: (Suministros suficientes)

$P(M \mid C, S)$: (Moral alta)

$P(V \mid T, C, M)$: (Victoria)

Query de ejemplo: “Si el terreno es favorable y los suministros son buenos, ¿cuál es la probabilidad de victoria?”

$$P(V = \text{sí} \mid T = \text{sí}, S = \text{sí})$$

Aquí $C$ y $M$ son variables ocultas. Necesitamos marginalizar sobre ellas. Aprenderemos cómo en la siguiente sección.

graph LR
    E(("E<br/>Estudiar")) --> A(("A<br/>Aprobar"))
    D(("D<br/>Dificultad")) --> A

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