Métodos de Monte Carlo

“The first ENIAC runs were made in late 1947. The idea was to test whether the calculation of neutron diffusion was feasible using Monte Carlo… It worked beyond our expectations.” — Nicholas Metropolis

Hemos aprendido a representar la incertidumbre con probabilidad, a razonar con redes bayesianas y a inferir causalidad. Pero hay una pregunta práctica que ninguno de esos marcos responde solo: ¿cómo calculamos concretamente con distribuciones complejas?

La respuesta —sorprendentemente simple y poderosa— es Monte Carlo: muestrea y promedia.

Contenido

Materiales y flujo de trabajo

Paso	Material	Colab	Descripción
1	12.1 Historia	—	Narrativa: el origen del método
2	12.2 Fundamentos	—	La matemática detrás: LLN, CLT, error $O(1/\sqrt{n})$, independencia dimensional
3	Notebook 01 — Fundamentos		Clase: π, integración, LLN/CLT, primer vistazo a reducción de varianza
4	Notebook 02 — Reducción de Varianza		Guiado: antithetic, control variates, importance sampling
5	Notebook de aplicación (elige uno)	—	Exploración profunda en un dominio

Notebooks de aplicación

Elige uno de los siguientes, o propón el tuyo:

Notebook	Tema	Herramientas	Colab
03 — Opciones Financieras	Pricing de opciones europeas y asiáticas con GBM	numpy, scipy
04 — Inferencia Bayesiana	Rejection sampling, IS, preview de MCMC	numpy, scipy
05 — Caminata Aleatoria	Difusión, conexión con Los Álamos, puzzle de Pólya	numpy, matplotlib
06 — Modelo de Ising	Metropolis-Hastings en su aplicación original; transiciones de fase; conexión a ML moderno	numpy, matplotlib
07 — Torneos Deportivos	Simulación de Champions League con ratings Elo; suerte vs. talento; formatos de torneo	numpy, scipy
08 — Epidemias Estocásticas	Modelo SIR estocástico; extinción aleatoria; inmunidad de rebaño; $R_0$ como umbral probabilístico	numpy, scipy

Proponer tu propia aplicación

Si ninguno de los tres te convence, puedes proponer tu propio notebook. Requisitos mínimos:

1. El problema debe involucrar una integral o esperanza difícil o imposible de calcular analíticamente
2. Verificación: debes tener alguna forma de validar que tu estimador converge al valor correcto (solución exacta en un caso especial, límite conocido, o experimento controlado)
3. Justificación: explica brevemente por qué Monte Carlo es la herramienta adecuada para tu problema
4. Alcance: debe incluir al menos la estimación básica + análisis de convergencia + un ejercicio o extensión

Objetivos de aprendizaje

Al terminar este módulo podrás:

1. Explicar el origen histórico de Monte Carlo y la controversia sobre su nombre
2. Formular cualquier problema de estimación como $\mathbb{E}[f(X)]$ y construir el estimador MC correspondiente
3. Aplicar la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite para justificar y cuantificar el error del estimador
4. Calcular intervalos de confianza para estimados Monte Carlo y determinar el tamaño de muestra necesario para una precisión dada
5. Explicar por qué el error $O(1/\sqrt{n})$ es independiente de la dimensión y cuándo esto hace a MC superior a los métodos de cuadratura
6. Implementar al menos una técnica de reducción de varianza (antithetic variates, control variates o importance sampling) y verificar que reduce el error empíricamente
7. Aplicar Monte Carlo a un dominio concreto (finanzas, inferencia bayesiana o física estocástica)

Prerrequisitos

Cómo ejecutar el script de imágenes

Las imágenes en las notas se generan con lab_montecarlo.py:

cd clase/12_montecarlo
python3 lab_montecarlo.py

Dependencias: numpy, matplotlib, scipy (ver requirements.txt).